Question

某商场统计了去年各个季度冰箱的进货资金情况，得到如下数据：

季       度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
进货资金（单位：万元）	42.6	38.3	37.7	41.4

（1）试求该商场去年冰箱的“季拟合进货资金m”的值（m是这样的一个量：它与各个季度进货资金差的平方和最小）；
（2）该商场今年第一个季度对冰箱进货时，计划进货资金比去年季拟合进货资金增长25%．经调研发现，销售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润P（万元）和Q（万元）与进货资金t（万元）分别近似地满足公式P=

1

4

t和Q=

20t

t+20

，那么该商场今年第一个季度应如何分配进货资金，才能使销售冰箱获得的利润最大？最大利润是多少万元？

Answer 1

分析：（1）利用m与各个季度进货资金差的平方和，结合配方法，求出最小，即可得到结论；
（2）求出今年第一季度的进货资金，再构建函数关系式，利用换元、基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）设四个季度的进货资金分别为a₁，a₂，a₃，a₄，
则M=(m-a1)2+(m-a2)2+(m-a3)2+(m-a4)2=4m²-2（a₁+a₂+a₃+a₄）m+a12+a22+a32+a42 …（3分）
所以当m=

a1+a2+a3+a4

4

时，M最小…（5分）
故所求的季拟合进货资金m=

42.6+38.3+37.7+41.4

4

=40万元…（7分）
（2）因为今年第一季度的进货资金为40×（1+25%）=50万元，设用于普通冰箱的进货资金为x万元，则用于节能冰箱的进货资金为（50-x）万元，
从而销售冰箱获得的利润为y=P+Q=

1

4

(50-x)+

20x

x+20

（0≤x≤50）…（10分）
令s=x+20（s∈[20，70]，则y=

75

2

-(

s

4

+

400

s

)≤

75

2

-2

s 4 × 400 s

=

35

2

…（12分）
当且仅当s=40，即x=20时，y取得最大值为17.5，
所以当用于节能冰箱的进货资金为30万元，用于普通冰箱的进货资金为20万元时，可使销售冰箱的利润最大，最大为17.5万元…（14分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题．