题目内容

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：
甲：f（3）=1；
乙：函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；
丙：函数f（x）关于直线x=4对称；
丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8．
其中正确的是（）
A．甲，乙，丁
B．乙，丙
C．甲，乙，丙
D．甲，丁

【答案】分析：取x=1，得f（3）=-f（-3）=1；f（x-4）=f（-x），则f（x-2）=f（-x-2）；奇函数f（x），x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，利用函数f（x）关于直线x=-2对称，可得函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．
解答：解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-

=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故甲的结论正确；
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x），∴f（x-2）=f（-x-2），∴函数f（x）关于直线x=-2对称，故丙不正确；
奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=-2对称，∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故乙不正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．故丁正确
故选D
点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．