Question

如图,在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AC=BC,D为AB的中点,平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁,异面直线BC₁与AB₁相互垂直.

(1)求证AB₁⊥平面A₁CD;

(2)若CC₁与平面ABB₁A₁的距离为1，A₁C=,AB₁=5，求三棱锥A₁-ACD的体积.

Answer 1

（1）证明：取A₁B₁的中点D₁，连结C₁D₁、BD₁，

∴AC=BC，

∴A₁C₁=B₁C₁.

又C₁D₁⊥A₁B₁，平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，

∴C₁D₁⊥平面ABB₁A₁.∴BD₁是BC₁在平面ABB₁A₁内的射影，BC₁⊥AB₁，所以AB₁⊥BD₁.又BD₁∥A₁D，∴AB₁⊥A₁D.

CD⊥平面A₁B₁BA，

从而CD⊥AB₁.

∴AB₁⊥平面A₁CD.

（2）解析：由（1）知CD是CC₁与平面ABB₁A₁的距离，

∴CD=1.

在Rt△A₁CD中，A₁C=,CD=1,

∴A₁D==6.

设A₁D∩AB₁=E,由△AED∽△B₁EA₁,得

=,∴AE=AB₁=,

=A₁D·AE=×6×=5.

·CD=×5×1=.