Question

在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图.

（1）求证：A′F⊥C′E.

（2）当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

建立坐标系，如图. （1）证明：设AE=BF=x，则A′（a，0，a），F（a－x，a，0），C′（0，a，a），E（a，x，0） ∴={－x，a，－a}，={a，x－a，－a}. ∵·=－xa+a（x－a）+a2=0 ∴A′F⊥C′E （2）解：设BF=x，则EB=a－x 三棱锥B′—BEF的体积 V=x（a－x）·a≤（）2=a3 当且仅当x=时，等号成立. 因此，三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BD⊥EF于D，连 B′D，可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高.∴BD=a. ∴tanB′DB= 故二面角B′—EF—B的大小为arctan2.