Question

6．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
（1）直线l为曲线y=f（x）的切线，且l过原点，求l的方程及切点．
（2）若k＞0，求不等式f（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设出切点，求得切线的斜率和切线的方程，代入原点，可得m=2，进而得到所求切线的方程；
（2）由e^x＞0，不等式f（x）+k（1-x）f（x）＞0，即为$\frac{kx-（1+k）}{x}$＜0，又k＞0，即为x（x-$\frac{1+k}{k}$）＜0，由二次不得好死的解法即可得到所求解集．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
设切点为（m，n），即有切线的斜率k=$\frac{{e}^{m}（m-1）}{{m}^{2}}$，
切线的方程为y-$\frac{{e}^{m}}{m}$=$\frac{{e}^{m}（m-1）}{{m}^{2}}$（x-m），
l过原点，可得-$\frac{{e}^{m}}{m}$=$\frac{{e}^{m}（m-1）}{{m}^{2}}$（-m），
解得m=2，n=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
即有切点为（2，$\frac{{e}^{2}}{2}$），切线的方程为y=$\frac{{e}^{2}}{4}$x；
（2）由e^x＞0，不等式f（x）+k（1-x）f（x）＞0，即为
$\frac{kx-（1+k）}{x}$＜0，又k＞0，即为x（x-$\frac{1+k}{k}$）＜0，
即有0＜x＜$\frac{1+k}{k}$，
则解集为（0，$\frac{1+k}{k}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意设出切点，考查不等式的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．