Question

【题目】根据题意解答
（1）已知a为常数，且0＜a＜1，函数f（x）=（1+x）a﹣ax，求函数f（x）在x＞﹣1上的最大值；
（2）若a，b均为正实数，求证：ab+ba＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=（1+x）a﹣ax，求导f′（x）=a（1+x）a﹣1﹣a=a[（1+x）a﹣1﹣1]，

当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0，f′（x）＜0，

∴f（x）在x=0处取极大值，也是最大值f（0）=1，

∴f（x）的最大值为1；

（2）证明：①当a，b中有一个大于1时，不妨设a≥1，

ab+ba＞ab＞1，

②当a，b均属于（0，1），设a= ，b= ，（m，n＞0），

则ab= = ≥ = ，

同理可知：ba≥ ，

∴ab+ba＞ + = ＞1，

∴ab+ba＞1．

【解析】（1）由f′（x）=a（1+x）a﹣1﹣a=a[（1+x）a﹣1﹣1]，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0，f′（x）＜0，f（x）在x=0处取极大值，也是最大值f（0）=1；（2）①当a，b中有一个大于1时，不妨设a≥1，ab+ba＞ab＞1，②当a，b均属于（0，1），设a= ，b= ，（m，n＞0），则ab= = ≥ = ，同理ba≥ ，即可证明ab+ba＞1．
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．