Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3ax+1．
（Ⅰ）若一条直线与曲线y=f（x）相切于点（1，3），求这条直线的方程；
（Ⅱ）若该函数在x=2处取到极值，试判断方程f（x）=0的实根的个数．

Answer 1

分析：（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）首先求出函数的导数，根据函数在x=2处取到极值求得a值，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=0有3个不同实根．

解答：解：（Ⅰ）将点（1，3）代入f（x）=x³+3ax²+3ax+1，得a=

1

6

．…（2分）
于是f（x）=x³+

1

2

x²+

1

2

x+1．
∴f′（x）=3x²+x+

1

2

．
由题意知该直线的斜率为k=f′（1）=

9

2

．…（4分）
∴所求直线方程为y-3=

9

2

（x-1），即9x-2y-3=0．…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x²+6ax+3a．
由f′（2）=0，得a=-

4

5

．…（8分）
此时f′（x）=3x²-

24

5

x-

12

5

．
由f′（x）=3x²-

24

5

x-

12

5

＞0，解得x＜-

2

5

或x＞2．
∴f（x）最大f（-

2

5

）＞0，f（x）最小=f（2）＜0．
所以曲线y=f（x）与x轴有3个交点．，即方程f（x）=0有3个实根．…（12分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，体现了数形结合的思想方法，属中档题．