题目内容

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2， $数学公式$ ，（n=3，4，…）；数列{b_n}是首项为b₁=1，公比为-2的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=na_nb_n（n=1，2，3，…），求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，（n≥3）（2分）
又∵a₂-a₁=1≠0，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ．
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，（4分）
经检验它对n=1，2也成立，
∴数列{a_n}的通项公式为 $\text{[math]}$ （5分）
∵数列{b_n}是首相为b₁=1，
公比为-2的等比数列．
∴b_n=1×（-2）^n-1=（-2）^n-1．（7分）

（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （10分），
记T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+3•（-2）²+…+n•（-2）^n-1，①
则2T_n=1•（-2）¹+2•（-2）²+…+（n-1）•（-2）^n-1+n•（-2）ⁿ②，
由①-②得：-T_n=（-2）⁰+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （12分）
∴ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，（n≥3）．由此能导出数列{a_n}的通项公式．由数列{b_n}是首相为b₁=1，公比为-2的等比数列，能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，记T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+3•（-2）²++n•（-2）^n-1，由错位相减法能导出 $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{c_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．