Question

在△ABC中，A为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A=

3

5

，cosB=

3 10

10

．
（I）求A+B的值；  （II）若a-b=

2

-1，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由二倍角的余弦函数公式化简cos2A，得到关于sinA的方程，求出方程的解得到sinA的值，又A为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，再由cosB的值大于0，得到B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后利用两角和的余弦函数公式化简cos（A+B），把各项的值代入求出cos（A+B）的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A+B的度数；
（Ⅱ）由第一问求出的A+B的度数得到C的度数，进而求出sinC的值，又sinA和sinB的值，利用正弦定理得出a，b及c的关系式，用b表示出a与c，再由a-b的值，把表示出的a与b代入列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而求出a与b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵A为锐角，又cos2A=1-2sin²A=

3

5

，
∴sinA=

5

5

，cosA=

1- sin2A

=

2 5

5

，
又∵cosB=

3 10

10

＞0，∴B是锐角，
∴sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

，
∴A+B=

π

4

；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=

3π

4

，∴sinC=

2

2

，又sinA=

5

5

，sinB=

10

10

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：

5

a=

10

b=

2

c，即a=

2

b，c=

5

b，
∵a-b=

2

-1，∴

2

b-b=

2

-1，
∴b=1，a=

2

，c=

5

．（12分）

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，正弦定理及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．