Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinC=2sinA，b=

3

a．
（1）求角B；
（2）若△ABC的面积为2

3

，求函数f（x）=2sin²（x+π）+cos（2x-B）-a的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件以及正弦定理余弦定理，直接求出B的余弦函数值，然后求角B；
（2）通过△ABC的面积为2

3

，求出a，然后化简函数f（x）=2sin²（x+π）+cos（2x-B）-a为 一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调增区间．

解答：解：（1）∵sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a
又∵b=

3

a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4a2+a2-( 3 a)2

2•2a•a

=

1

2

∴B=

π

3

（2）S△ABC=

1

2

•ac•sinB=

1

2

×a×2a•sin

π

3

=2

3

∴a=2
∴f(x)=2sin2x+cos(2x-B)-a=1-cos2x+cos(2x-

π

3

)-2
=-cos2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin(2x-

π

6

)-1．
∴令2x-

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
解得x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
∴函数的单调增区间：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

点评：本题考查余弦定理正弦定理的应用，两角和与差的三角函数以及三角函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．