Question

如图，线段AB过y轴负半轴上一点M（0，a），A、B两点到y轴距离的差为2k．
（Ⅰ）若AB所在的直线的斜率为k（k≠0），求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的抛物线的方程；
（Ⅱ）设（1）中所确定的抛物线为C，点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60°，又点P在抛物线C上由A到B运动，试求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意设所求的抛物线方程为x²=-2py（p＞0），直线AB的方程为y=kx+a，由得x²+2pkx+2pa=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜0，x₂＞0，y₁＜0，y₂＜0），x₁+x₂=-2pk，若|x₁|-|x₂|=2k可求p
（2）解法1：可得直线AB的方程为，解方程组可求点A，B，从而可求AB，设点P（m，n），依题意知，且，根据点P到直线AB的距离=可求面积的最大值
解法2：直线AB的方程为，由得，，x₁x₂=-1，
以下同法一
解答：（1）解：依题意设所求的抛物线方程为x²=-2py（p＞0），----------（1分）
∵直线AB的斜率为k且过点M（0，a）∴直线AB的方程为y=kx+a
由得x²+2pkx+2pa=0----------①------------------（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜0，x₂＞0，y₁＜0，y₂＜0）
则x₁，x₂是方程①的两个实根
∴x₁+x₂=-2pk，若|x₁|-|x₂|=2k
则-x₁-x₂=2k，-2pk=-2k∴p=1---------------------------（5分）
若|x₂|-|x₁|=2k则x₁+x₂=-2pk=2k∴p=-1与p＞0矛盾----（6分）
∴该抛物线的方程为x²=-2y．-------（7分）
（2）解法1：抛物线x²=-2y的焦点为（）即M点坐标为（）
直线AB的斜率
∴直线AB的方程为，-----------------（8分）
解方程组得
即点A，B-------------------（10分）
∴
设点P（m，n），依题意知，且
则点P到直线AB的距离==
当时，d_max=1，--------------------------------（13分）
这时=．-----------------------（15分）
解法2：抛物线x²=-2y的焦点为（）即M点坐标为（）
直线AB的斜率
∴直线AB的方程为，
由得∴，x₁x₂=-1，
∴=[以下同上]
点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，利用二次函数的性质求解函数的最值等知识的综合应用，要注意方程的思想的应用．