Question

已知数列{x_n}的前n项和为S_n，若点P_n（x_n，S_n）（n=1，2，…）都在斜率为k的同一条直线上（常数k≠0，1）
（1）求证：{x_n}是等比数列；
（2）设数列{x_n}的公比为f（k），b_n=-f（b_n-1），b₁=-1，C_n=b_nb_n+1，求C₁+C₂+…+C_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+1-S_n着手考虑，把点P_n、P_n+1的坐标代入直线y=kx+b，然后两式相减得x_n+1与x_n的关系式，最后整理为等比数列的形式即可．
（2）根据数列{x_n}的公比为f（k），则f(k)=

k

k-1

，然后求出b_n的通项公式和c_n的通项公式，最后利用裂项求和法求出所求．

解答：解：（1）∵

Sn+1-Sn

xn+1-xn

=

xn+1

xn+1-xn

=k，∴

xn+1

xn

=

k

k-1

∴{x_n}成G．P；
（2）∵f(k)=

k

k-1

，∴bn=-

bn-1

bn-1-1

从而b_nb_n-1=b_n-b_n-1，即

1

bn

-

1

bn-1

=-1(n≥2)∴bn=-

1

n

，∴Cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，∴∑Ck=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：a_n+1=S_n+1-S_n是实现数列{a_n}，由其前n项和S_n向a_n转化的重要桥梁；要熟悉等差数列的解析式形式：a_n=An+B即一次函数型，等比数列的解析式形式为：a_n=Aqⁿ指数型函数．