Question

（2011•广东模拟）已知数列{x_n}的前n项和为S_n满足Sn+1=Sn+

1

1+xn

，S1=

1

2n

    n∈N+
（I）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）对于数列{u_n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+-+|u₂-u₁|≤M则称数列{U_n}为B-数列．问数列{x_n}是B-数列吗？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）由已知得x1=

1

2

，xn+1=

1

1+xn

，∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，猜想数列{x_2n}是递减数列，再用数学归纳法证明；
（Ⅱ）利用定义寻找使得不等式成立的M的值，从而先去证明|x_n+1-x_n|≤

1

6

×(

2

5

)n-1，从而可判断．

解答：解：（I）由已知得x1=

1

2

，xn+1=

1

1+xn

，∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，猜想数列{x_2n}是递减数列（3分）
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即x_2k＞x_2k+2
易知x_2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

＞0即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（6分）
（Ⅱ）数列{x_n}是B-数列．（7分）
当n=1时，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=

1

6

，（8分）
当n≥2时，易知0＜x_n-1＜1，∴1+xn-1＜2，xn＞

1

2

（9分）
∴(1+xn)(1+xn-1)=2+xn-1≥

5

2

（10分）
∴|x_n+1-x_n|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=|x_n-x_n-1|×

1

(1+xn)(1+xn-1

)≤

2

5

|x_n-x_n-1|≤-≤

1

6

×(

2

5

)n-1（12分）
∴|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+-+|x₂-x₁|≤

1

6

×

1-( 2 5 )n

1- 2 5

＜

5

18

所以数列{x_n}是B-数列．（13分）

点评：本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．