求证:对角互补的四边形.必内接于圆. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

求证：对角互补的四边形，必内接于圆.

试题答案

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提示：已知：四边形ABCD中，∠AOC+∠B=180°，

求证：四边形ABCD内接于圆.

证明：假设四边形ABCD不内接于圆，则过A、B、C三点作⊙O.

（1）当D在⊙O内时，如图1，延长CD交⊙O于D′，连结AD′，则∠B+∠D′=180°.∵∠ADC＞∠D′，∴ ∠ADC+∠B＞∠B+∠D′=180°.

图1

图2

（2）当D在⊙O外时，如图2，AD交⊙O于D′，连结CD′，则∠B+∠AD′C=180°.

∵ ∠D＜∠AD′C，∴ ∠B+∠D＜∠B+∠AD′C=180°.

这与已知相矛盾，不成立.

综上，假设不成立，所以四边形ABCD内接于圆.

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①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的边相等，则它是正方形.

其中互为逆命题的有__________;互为否命题的有__________;互为逆否命题的有?__________.?

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