Question

数列满足：，.（Ⅰ）若数列为常数列，求的值；

（Ⅱ）若，求证：；       （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列单调递减.

Answer 1

（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）因为数列为常数列，

所以，

解得或

由的任意性知，或.

所以，

或.                                               ………………… 3 分

（Ⅱ）用数学归纳法证明.

当时，，

符合上式.                                    ………………… 4 分

       ② 假设当时，，

       因为 ，

       所以 ，即.

       从而，即.

       因为，

所以，当时，成立.

       由①，②知，.                            ………………… 9分

       （Ⅲ）因为

                      ()，

       所以只要证明.

       由（Ⅱ）可知，，

       所以只要证明，

       即只要证明. …………………12分

       令，

       ，

       所以函数在上单调递增. ………………… 14分

       因为，

       所以，即成立.

       故.

所以数列单调递减.                              ………………… 16分