Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=

7

，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面ABC，?DE⊥AA₁．再由DE⊥A₁E?DE⊥平面ACC₁A₁．即可得出结论；
（2）设O是AC的中点．先建立一个以O为原点建立空间直角坐标系，得到相关各点的坐标．再利用线面角的求法在空间直角坐标系内找到直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值即可．

解答：解：（1）证明：如图所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面ABC．
又DE?平面ABC，
所以DE⊥AA₁．
而DE⊥A₁E．AA₁∩A₁E=A₁，
所以DE⊥平面ACC₁A₁．
又DE?平面A₁DE，
故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．

（2）如图所求，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是
A（2，0，0），A₁（2，0，

7

），D（-1，

3

，0），E（-1，0，0）．
易知

A1D

=（-3，

3

，-

7

），

DE

=（0，-

3

，0），

AD

=（-3，

3

，0）．
设n=（x，y，z）是平面A₁DE的一个法向量，
解得x=-

7

3

z，y=0．
故可取n=（

7

，0，-3）．
于是cos＜?n，A＞?═

-3 7

4×2 3

=-

21

8

．
由此即知，直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值为

21

8

．

点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直