Question

14．在RT△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=6，M、N是斜边AB上的动点，MN=2$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范围为（　　）

• A． [18，24]
• B． [16，24]
• C． （16，36）
• D． （24，36）

Answer 1

分析 通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=2（b-2）²+16，0≤b≤4，求出范围即可．

解答 解：RT△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=6，M、N是斜边AB上的动点，MN=2$\sqrt{2}$，
以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，
则A（6，0），B（0，6），
∴AB所在直线的方程为：$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{6}$=1，即y=6-x．
设N（a，6-a），M（b，6-b），且0≤a≤6，0≤b≤6，不妨设a＞b，
∵MN=2$\sqrt{2}$，∴（a-b）²+（b-a）²=8，∴a-b=2，
∴a=b+2，∴0≤b≤4，
则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$═（a，6-a）•（b，6-b）=2ab-6（a+b）+36
=2（b²-4b+12）=2（b-2）²+16，0≤b≤4，
∴当b=0或b=4时有最大值24；当b=2时有最小值16．
的取值范围为[16，24]，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键，属于中档题．