Question

如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求二面角A-BC-D的大小.

Answer 1

思路点拨：本题要求二面角，首先根据二面角的平面角的定义构造出对应的二面角的平面角，结合已知条件中出现的线段相等，容易想到添加中点，从而得到相关的垂直关系而达到目的.

解：取BC的中点E，连结AE、DE.

∵AB=AC,∴AE⊥BC.

又△ABD≌△DBC,AB=AC,

∴DB=DC,DE⊥BC.

∴∠AED为二面角ABCD的平面角.

又△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形，所以AB=AC=DB=DC=.

又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2.

在Rt△DEB中，DB=，BE=1，

∴DE=.

同理，AE=.

在△AED中，AE=DE=，AD=2，AD²+DE²=AD²，∠AED=90°，即二面角ABCD的大小为90°.

［一通百通］ 有关求二面角的平面角问题的求解，通常考虑根据二面角的平面角的定义构造出相应的平面角，而在构造过程中，往往离不开添加垂线，利用线面垂直、面面垂直关系从而达到目的，最后问题通常转化为解三角形.