题目内容

已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；?
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．
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（1）由已知，△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m，得
1
2
|
OF
|•|
FQ
|sin(π-θ)=2
6
|
OF
|•|
FQ
|•cosθ=m
（2分）
∴tanθ=
4
6
m
，
∵
6
＜m＜4
6
，∴1＜tanθ＜4，
∴
π
4
＜θ＜arctan4．（6分）
（2）设所求的双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1，（a＞0，b＞0），Q（x1，y1），则
FQ
=（x1-c，y1）
∵△OFQ的面积
1
2
|
OF
||y1|=2
6
，∴y1=±
4
6
c
，
又由
OF
•
FQ
=（c，0）•（x1-c，y1）=（x1-c）c=（
6
4
-1）c2，∴x1=
6
4
c，（8分）
|
OQ
|=
x12+y12
=
3c2
8
+
96
c2
≥
12
，当且仅当c=4时，|
OQ
|最小．
此时Q的坐标为（
6
，
6
），或（
6
，-
6
）．
由此可得
6
a2
-
6
b2
=1
a2+b2=16
，解得
a2=4
b2=12.
（11分）
故所求方程为
x2
4
-
y2
12
=1．（12分）
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相关题目
精英家教网已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）当
6
＜m＜4
6
时，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；
（2）设|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
精英家教网如图，已知△OFQ的面积为S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范围；
（Ⅱ）设|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|
OQ
|取最小值时，求椭圆的方程．
已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；?
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．
已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
（2007•天津一模）已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夹角θ的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．

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