Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数，且）.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）首先求函数的导数，并化简，然后再分情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围.

解：(1)

①当时，，则

当时，，故在单调递减；

当时，，故在单调递增.

②当时，由得

若，则，故在R上单调递增.

若，则：

当或时，，故在，单调递增.

当时，，故在单调递减.

(2)①当时， 在R上单调递增，不可能有两个零点.

②当时，在，单调递增，单调递减

故当时，取得极大值，极大值为

此时，不可能有两个零点.

③当时，，由得

此时，仅有一个零点.

④当时，在单调递减； 在单调递增.

有两个零点，

解得

而则

取，则

故在、 各有一个零点

综上，的取值范围是