题目内容

若数列满足，其中为常数，则称数列为等方差数列，已知等方差数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）记，则当实数大于4时，不等式能否对于一切的恒成立？请说明理由。

 

【答案】

（1）；（2）；（3）当时，不等式对于一切的恒成立  .

【解析】本试题主要考查了数列的概念和灵活运用新的定义，解决数列的通项公式和求和问题，以及不等式的恒成立问题的综合运用

（1）利用新定义可得由，得，，∴

（2）中结合上一问的结论得到，然后利用错位相减法得到求和

（3），不等式恒成立，

即对于一切的恒成立。

∴

分离参数的思想求解k的取值范围。

解：（Ⅰ）由，得，，∴

，

∵，∴

数列的通项公式为； 

（Ⅱ）

设  ①

 ②

①－②，得

∴

∴

即数列的前项和为 

（Ⅲ）解法1：，不等式恒成立，

即对于一切的恒成立。

设，当时，由于对称轴，且

而函数在是增函数，∴不等式恒成立，

即当时，不等式对于一切的恒成立  

解法2：，不等式恒成立，即对于一切的恒成立。

∴

∵，∴．而

∴恒成立．

故当时，不等式对于一切的恒成立．

 

练习册系列答案
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在数列{an}中，如果对任意的n∈N*，都有
an+2
an+1
-
an+1
an
=λ（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是
①④
①④
．
①若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{an}满足an=(n-1)•2n-1，则数列{an}是比等差数列，且比公差λ=2；
③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列{an}满足：an+1=an2+2an，a1=2，则此数列的通项为an=32n-1-1，且{an}不是比等差数列；
（理）④数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2，n∈N*)，则此数列的通项为an=
n•3n
3n-1
，且{an}不是比等差数列．
下列命题中
（1）常数列既是等差数列又是等比数列；
（2）a∈（0，
π
2
），则aina+
1
sina
有最小值2
（3）若数列{an}前n项和Sn=Pn，则无论P取何值时{an}一定不是等比数列．
（4）在△ABC中，B=60°，b=6
3
，a=10，则满足条件的三角形只有一个．
（5）函数f（x）=cos2x-sin2x的最小正周期为2π其中正确命题的序号是
（3），（4）
（3），（4）
．
数列{an}满足an+1=
4an-2
an+1
，其中n∈N，首项为a0．
（Ⅰ）若数列{an}是一个无穷的常数列，试求a0的值；
（Ⅱ）若a0=4，试求满足不等式an≤
146
65
的自然数n的集合；
（Ⅲ）若存在a0，使数列{an}满足：对任意正整数n，均有an＜an+1，试求a0的取值范围．
在数列{an}中，如果对任意的n∈N*，都有（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是    ．
①若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{an}满足，则数列{an}是比等差数列，且比公差λ=2；
③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列{an}满足：，a1=2，则此数列的通项为-1，且{an}不是比等差数列；
（理）④数列{an}满足：a1=，且an=，则此数列的通项为an=，且{an}不是比等差数列．
在数列{an}中，如果对任意的n∈N*，都有（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是    ．
①若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{an}满足，则数列{an}是比等差数列，且比公差λ=2；
③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列{an}满足：，a1=2，则此数列的通项为-1，且{an}不是比等差数列；
（理）④数列{an}满足：a1=，且an=，则此数列的通项为an=，且{an}不是比等差数列．

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