Question

【题目】已知函数，R.

（1）试讨论函数的极值点的个数；

（2）若N*，且恒成立，求的最大值.

参考数据：

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)10

【解析】

(1)先求出函数的导数，通过讨论的范围，即可求出函数的单调区间；

(2)先由(1)可确定时，有唯一极大值点，进而可表示出的最大值，因此恒成立即转化为的问题，再构造函数，用导数的方法研究其单调性和最值即可得出结果.

（1）函数的定义域为.

。当时，，

在定义域单调递减，没有极值点；

②当时，在单调递减且图像连续，

，时，所以存在唯一正数，使得，

函数在单调递增，在单调递减，

所以函数有唯一极大值点，没有极小值点

综上：当时，没有极值点；

当时，有唯一极大值点，没有极小值点

（2）方法一：

由（1）知，当时，有唯一极大值点，所以，

恒成立

因为，所以，

所以.

令，则在单调递增，

由于，，

所以存在唯一正数，使得，

从而.

由于恒成立，

①当时，成立；

②当时，由于，所以.

令，当时，，

所以在单调递减，从而.

因为，且，且N*，所以.

下面证明时，.

，且在单调递减，由于，

所以存在唯一，使得，

所以.

令，，易知在单调递减，

所以，

所以

即时，.

所以的最大值是10.

方法二：

由于恒成立，所以

，；

，；

，；

因为N*，所以猜想：的最大值是10.

下面证明时，.

，且在单调递减，由于，

所以存在唯一，使得，

所以.

令，，易知在单调递减，

所以，

所以

即时，.

所以的最大值是10.