题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）- $数学公式$ x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）= $数学公式$ x³图象的下方；
（Ⅲ）设函数h（x）=f′（x），求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

解：（Ⅰ）根据题意：易知y=lnx与y= $\text{[math]}$ 的交点为A（α， $\text{[math]}$ ），
y=e^x与y= $\text{[math]}$ 的交点为B（β， $\text{[math]}$ ）；由K_AB=-1，易知α•β=2009（4分）

（Ⅱ）设F（x）= $\text{[math]}$ x²+lnx- $\text{[math]}$ x³，则F′（x）=x+ $\text{[math]}$ -2x²= $\text{[math]}$
∵x＞1，F′（x）＜0∴F（x）在区间（1，+∝）上是减函数又∵F（1）=- $\text{[math]}$ ＜0
∴ $\text{[math]}$ x²+lnx- $\text{[math]}$ x³＜0，即 $\text{[math]}$ x²+lnx＜ $\text{[math]}$ x³，x∈（1，+∞）
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）= $\text{[math]}$ x³图象的下方（9分）

（Ⅲ）当n=1时，左边=x+ $\text{[math]}$ +2，右边=x+ $\text{[math]}$ +2，不等式成立；
当n≥2时，[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+ $\text{[math]}$ ）ⁿ-（xⁿ+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ [C_n¹（x^n-2+ $\text{[math]}$ ）+C_n²（x^n-4+ $\text{[math]}$ ）+…+C_n^n-1（ $\text{[math]}$ +x^n-2）]
由已知，x＞0
∴[h（x）]ⁿ-ln（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2
∴[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．（15分）
分析：（Ⅰ）将“方程xf（x）- $\text{[math]}$ x³=2009的根”转化为：“函数y=lnx与y= $\text{[math]}$ ”的交点，将“方程xe^x=2009的根”转化为：“函数y=e^x与y= $\text{[math]}$ ”的交点；最由K_AB=-1，求得α•β
（Ⅱ）构造“函数F（x）= $\text{[math]}$ x²+lnx- $\text{[math]}$ x^3”，将问题转化为：“F（x）≤0恒成立”，再用导数法，研究其单调性，求得其最大值即可．
（Ⅲ）当n=1时，左边=x+ $\text{[math]}$ +2，右边=x+ $\text{[math]}$ +2，不等式成立；当n≥2时，由[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+ $\text{[math]}$ ）ⁿ-（xⁿ+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ [C_n¹（x^n-2+ $\text{[math]}$ ）+C_n²（x^n-4+ $\text{[math]}$ ）+…+C_n^n-1（ $\text{[math]}$ +x^n-2）]作差比较．
点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程根的问题转化为函数图象的交点，不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，比较法证明不等式等．