Question

已知单位向量

OA

和

OB

的夹角为90°，点C在以O为圆心的圆弧AB（含端点）上运动，若

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，则xy的取值范围是

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：由

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，且向量的模都是1，且

OA

•

OB

=0，平方可得1=x²+y²≥2xy，再由x，y∈[0，1]，可得xy的范围．

解答：解：由

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，向量

OA

和

OB

的夹角为90°，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1，平方可得
1=x²+y²≥2xy，得xy≤

1

2

，而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，得x，y∈[0，1]，
于是，0≤xy≤

1

2

，
故答案为[0，

1

2

]．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义以及基本不等式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．