Question

（2013•深圳一模）如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为

BC

的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（1）求证：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在

BD

上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）以O为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出向量

AC

与

OF

的坐标，利用向量共线的坐标表示求证OF∥AC，从而说明线面平行；
（2）根据，∠DAB=60°求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假设在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，根据（1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，
从而得到OG∥AD，利用共线向量基本定理得到G的坐标（含有参数），然后由向量

OG

的模等于圆的半径求出G点坐标，最后利用向量

AG

与平面ACD的法向量所成角的关系求直线AG与平面ACD所成角的正弦值．

解答：（1）证明：如图，因为∠CAB=45°，连结OC，则OC⊥AB．
以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-2，0），C（0，0，2）．

AC

=(0，0，2)-(0，-2，0)=(0，2，2)，
∵点F为

BC

的中点，∴点F的坐标为(0，

2

，

2

)，

OF

=(0，

2

，

2

)．∴

OF

=

2

2

AC

，即OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴点D的坐标D(

3

，1，0)，

AD

=(

3

，1，0)．
设二面角C-AD-B的大小为θ，

n1

=(x，y，z)为平面ACD的一个法向量．
由

n1 • AC =0 n1 • AD =0

有

(x，y，z)•(0，2，2)=0 (x，y，z)•( 3 ，1，0)=0

即

2y+2z=0 3 x+y=0.

取x=1，解得y=-

3

，z=

3

．∴

n1

=(1，-

3

，

3

)． 
取平面ADB的一个法向量

n2

=（0，0，1），
∴cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|1×0+(- 3 )×0+ 3 ×1|

7 •1

=

21

7

．
（3）设在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，则有OG∥AD．
设

OG

=λ

AD

(λ＞0)，∵

AD

=(

3

，1，0)，∴

OG=

(

3

λ，λ，0)．
又∵|

OG

|=2，∴

( 3 λ)2+λ2+02

=2，解得λ=±1（舍去-1）．∴

OG

=(

3

，1，0)，则G为

BD

的中点．
因此，在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为

BD

的中点．
设直线AG与平面ACD所成角为α，∵

AG

=(

3

，1，0)-(0，-2，0)=(

3

，3，0)，
根据（2）的计算

n1

=(1，-

3

，

3

)为平面ACD的一个法向量，
∴sinα=cos(90°-α)=

| AG • n1 |

| AG |•| n1 |

=

| 3 ×1+3×(- 3 )+0× 3 |

2 3 × 7

=

7

7

．
因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为

7

7

．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力，此题是中档题．