题目内容

(2013•深圳一模)已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p•
an+12
an
(其中p为非零常数,n∈N*).
(1)判断数列{
an+1
an
}
是不是等比数列?
(2)求an
(3)当a=1时,令bn=
nan+2
an
,Sn为数列{bn}的前n项和,求Sn
分析:(1)由an+2=p•
an+12
an
可求得
an+2
an+1
=p•
an+1
an
,利用等比数列的定义即可判断数列{
an+1
an
}
是否为等比数列;
(2)利用累乘法an=
an
an-1
an-1
an-2
a2
a1
•a1=(apn-2)×(apn-3)×…×(ap0)×1即可求得an
(3)当a=1时,bn=
nan+2
pan
=np2n-1,利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{bn}的前n项和Sn
解答:解:(1)由an+2=p•
an+12
an
an+2
an+1
=p•
an+1
an
 …(1分)
令cn=
an+1
an
,则c1=a,cn+1=pcn
∵a≠0,
∴c1≠0,故
cn+1
cn
=p(非零常数),
∴数列{
an+1
an
}
是等比数列,…(3分)
(2)∵数列{cn}是首项为a,公比为p的等比数列,
∴cn=c1•pn-1=a•pn-1
an+1
an
=apn-1.          …(4分)
当n≥2时,an=
an
an-1
an-1
an-2
a2
a1
•a1=(apn-2)×(apn-3)×…×(ap0)×1=an-1p
n2-3n+2
2
,…(6分)
∵a1满足上式,
∴an=an-1p
n2-3n+2
2
,n∈N*.        …(7分)
(3)∵
an+2
an
=
an+2
an+1
an+1
an
=(apn)×(a•pn-1)=a2p2n-1
∴当a=1时,bn=
nan+2
pan
=np2n-1.    …(8分)
∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n-1,①
p2Sn=1×p3+…+(n-1)p2n-1+n×p2n+1
∴当p2≠1,即p≠±1时,①-②得:(1-p2)Sn=p1+p3+…+p2n-1-np2n+1
∴Sn=
p(1-p2n)
(1-p2)2
-
np2n+1
1-p2
,p≠±1.             …(11分)
而当p=1时,Sn=1+2+…+n=
n(n+1)
2
,…(12分)
当p=-1时,Sn=(-1)+(-2)+…+(-n)=-
n(n+1)
2
.…(13分)
综上所述,Sn=
n(n+1)
2
,p=1
-
n(n+1)
2
,p=-1
p(1-p2n)
(1-p2)2
-
np2n+1
1-p2
,p≠±1
…(14分)
点评:本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想,属于难题.
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