题目内容
(2013•深圳一模)已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p•
(其中p为非零常数,n∈N*).
(1)判断数列{
}是不是等比数列?
(2)求an;
(3)当a=1时,令bn=
,Sn为数列{bn}的前n项和,求Sn.
an+12 |
an |
(1)判断数列{
an+1 |
an |
(2)求an;
(3)当a=1时,令bn=
nan+2 |
an |
分析:(1)由an+2=p•
可求得
=p•
,利用等比数列的定义即可判断数列{
}是否为等比数列;
(2)利用累乘法an=
•
…
•a1=(apn-2)×(apn-3)×…×(ap0)×1即可求得an;
(3)当a=1时,bn=
=np2n-1,利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{bn}的前n项和Sn.
an+12 |
an |
an+2 |
an+1 |
an+1 |
an |
an+1 |
an |
(2)利用累乘法an=
an |
an-1 |
an-1 |
an-2 |
a2 |
a1 |
(3)当a=1时,bn=
nan+2 |
pan |
解答:解:(1)由an+2=p•
得
=p•
…(1分)
令cn=
,则c1=a,cn+1=pcn.
∵a≠0,
∴c1≠0,故
=p(非零常数),
∴数列{
}是等比数列,…(3分)
(2)∵数列{cn}是首项为a,公比为p的等比数列,
∴cn=c1•pn-1=a•pn-1,
即
=apn-1. …(4分)
当n≥2时,an=
•
…
•a1=(apn-2)×(apn-3)×…×(ap0)×1=an-1p
,…(6分)
∵a1满足上式,
∴an=an-1p
,n∈N*. …(7分)
(3)∵
=
•
=(apn)×(a•pn-1)=a2p2n-1,
∴当a=1时,bn=
=np2n-1. …(8分)
∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n-1,①
p2Sn=1×p3+…+(n-1)p2n-1+n×p2n+1②
∴当p2≠1,即p≠±1时,①-②得:(1-p2)Sn=p1+p3+…+p2n-1-np2n+1,
∴Sn=
-
,p≠±1. …(11分)
而当p=1时,Sn=1+2+…+n=
,…(12分)
当p=-1时,Sn=(-1)+(-2)+…+(-n)=-
.…(13分)
综上所述,Sn=
…(14分)
an+12 |
an |
an+2 |
an+1 |
an+1 |
an |
令cn=
an+1 |
an |
∵a≠0,
∴c1≠0,故
cn+1 |
cn |
∴数列{
an+1 |
an |
(2)∵数列{cn}是首项为a,公比为p的等比数列,
∴cn=c1•pn-1=a•pn-1,
即
an+1 |
an |
当n≥2时,an=
an |
an-1 |
an-1 |
an-2 |
a2 |
a1 |
n2-3n+2 |
2 |
∵a1满足上式,
∴an=an-1p
n2-3n+2 |
2 |
(3)∵
an+2 |
an |
an+2 |
an+1 |
an+1 |
an |
∴当a=1时,bn=
nan+2 |
pan |
∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n-1,①
p2Sn=1×p3+…+(n-1)p2n-1+n×p2n+1②
∴当p2≠1,即p≠±1时,①-②得:(1-p2)Sn=p1+p3+…+p2n-1-np2n+1,
∴Sn=
p(1-p2n) |
(1-p2)2 |
np2n+1 |
1-p2 |
而当p=1时,Sn=1+2+…+n=
n(n+1) |
2 |
当p=-1时,Sn=(-1)+(-2)+…+(-n)=-
n(n+1) |
2 |
综上所述,Sn=
|
点评:本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想,属于难题.
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