Question

已知函数f（x）=x-4

x

+4（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{

an

}为等差数列；
（Ⅱ）若c_n=

an

•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）=x-4

x

+4（x≥4）的反函数，把a_n+1=f^-1（a_n）代入，整理后即可证明数列{

an

}为等差数列；
（Ⅱ）由数列{

an

}为等差数列求出数列{

an

}通项公式，进一步得到数列{a_n}的通项公式，再由数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，求出{b_n}的通项公式，代入c_n=

an

•b_n后化简，然后利用分组求和和错位相减法求和可得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x-4

x

+4（x≥4），即y=x-4

x

+4（x≥4），
∴x=

y

+2（y≥0），∴f-1(x)=(

x

+2)2 （x≥2），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=(

an

+2)2，
即

an+1

-

an

=2 （n∈N^*）．
∴数列{

an

}是以

a1

=1为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：

an

=1+2(n-1)=2n-1，
即an=(2n-1)2 （n∈N^*）．
由b₁=1，当n≥2时，bn-bn-1=1×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1
=

1×(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)．
因而bn=

3

2

(1-

1

3n

) （n∈N^*）．
由c_n=

an

•b_n，得：cn=

(2n-1)2

•

3

2

(1-

1

3n

)=

3

2

(2n-1)(1-

1

3n

)，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

3

2

(1-

1

3

)+

3

2

(3-

3

32

)+

3

2

(5-

5

33

)+…+

3

2

(2n-1-

2n-1

3n

)
=

3

2

[(1+3+5+…+2n-1)-(

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

)]．
令Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

   ①
则

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

  ②
①-②得，

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2× 1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

．
∴Tn=1-

n+1

3n

．
又1+3+5+…+（2n-1）=n²．
∴Sn=

3

2

(n2-1+

n+1

3n

)．

点评：本题考查了由递推式确定数列是等差数列，考查了等比数列的性质，训练了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了利用分组法和错位相减法求数列的前n项和，求一个等差数列和一个等比数列的积数列的前n项和，一般都用错位相减法，此题是中档题．