题目内容

下列结论中正确的是 ________
①等差数列a_n的前n和为S_n，则数列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…为等差数列；
②等比数列a_n的前n和为S_n，则数列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…为等比数列；
③等比数列a_n的前n积为T_n，则数列：T_n， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…为等比数列；
④等差数列a_n的前n和为S_n，若数列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…为常数数列，则数列a_n的公差为0；
⑤等比数列a_n的前n和为S_n，若数列：S_2n，S_4n-S_2n，S_6n-S_4n，…为常数数列，则数列a_n的公比为1．

①②③④
分析：①根据等差数列的性质，推出2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），即可得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…为等差数列；
②根据等比数列的性质，得到（S_2n-S_n）²与S_n•（S_3n-S_2n）相等，得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…是等比数列；
③根据等比数列的前n项和的公式及等比数列的性质，得到 $\text{[math]}$ =T_n• $\text{[math]}$ ，所以此数列为等比数列；
④根据等差数列的前n项和的公式及等差数列的性质，得到2（S_2n-S_n）=S_n•（S_3n-S_2n），即可求出公差d的值；
⑤根据等比数列的前n项和的公式及等比数列的性质，得到（S_4n-S_2n）²与S_2n•（S_6n-S_4n）相等，即可求出公比q的值．
解答：①设等差数列a_n的首项为a₁，公差为d，
则S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，
同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，
∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差数列．此选项正确；
②设等比数列的首项为a₁，等比为q，
则S_n= $\text{[math]}$ ，S_2n-S_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理S_3n-S_2n= $\text{[math]}$ ，
所以（S_2n-S_n）²=S_n（S_3n-S_2n），得到此数列为等比数列，此选项正确；
③T_n=a₁a₂…a_n， $\text{[math]}$ =a_n+1a_n+2…a_2n= $\text{[math]}$ （a₁a₂…a_n）， $\text{[math]}$ =a_2n+1a_2n+2…a_3n= $\text{[math]}$ （a_n+1a_n+2…a_2n），
所以 $\text{[math]}$ =T_n• $\text{[math]}$ ，所以此数列为等比数列，此选项正确；
④因为数列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…为常数数列，设S_n=a，则S_2n-S_n=a，解得：S_2n=2a，
而2S_n=2na₁+ $\text{[math]}$ d，S_2n=2na₁+ $\text{[math]}$ d，所以解得d=0，此选项正确；
⑤若数列：S_2n，S_4n-S_2n，S_6n-S_4n，…为常数数列，设S_2n=b，则S_4n-S_2n=b，解得S_4n=2b，
假如公比q=1，得到数列不为常数列，所以公比q不可能为1，此选项错，
所以结论正确的序号有：①②③④
故答案为：①②③④
点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质化简求值，是一道综合题．