Question

16．设函数f（x）=ax²+x，已知集合P={x|0≤x≤1}，若关于x的不等式|f（x）|≤1的解集为M，且P⊆M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据集合P={x|0≤x≤1}，关于x的不等式|f（x）|≤1的解集为M，且P⊆M，对a的取值进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，分析满足条件的实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：当a=0时，f（x）=x，解|f（x）|≤1得：M={x|-1≤x≤1}，满足P⊆M，
当a＞0时，f（1）=a+1＞1恒成立，
即1∉M，则不满足P⊆M，
当a＜0时，函数f（x）=ax²+x在x=-$\frac{1}{2a}$时取最大值$\frac{-1}{4a}$，
若1≤-$\frac{1}{2a}$，则若P⊆M，则f（1）=a+1≤1，解得：$-\frac{1}{2}$≤a＜0，
若1＞-$\frac{1}{2a}$，则若P⊆M，则|f（1）|=|a+1|≤1，且$\frac{-1}{4a}$≤1，解得：-2≤a＜$-\frac{1}{2}$，
综上所述，实数a的取值范围为[-2，0]．

点评 本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．