题目内容
已知双曲线C的方程为x2﹣
=1，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足
=λ
（其中λ∈[
，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．
=1，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足=λ（其中λ∈[，3]）．（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．
解：（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n），设P（x，y）
由
=λ
，得
，
故P点的坐标为（
，
），
将P点的坐标代入x2﹣
=1，化简得，mn=
．
（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=
．
又|OA|=
m，|OB|=
，
所以S△AOB=
|OA||OB|sin2θ=2mn=
=
，
记S（λ）=
，λ∈[
，3]）．
则S（λ）在λ∈[
，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．
所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值
．
所以△AOB面积的取值范围是[2，
]．
由
=λ，得，故P点的坐标为（
，），将P点的坐标代入x2﹣
=1，化简得，mn=．（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=
．又|OA|=
m，|OB|=，所以S△AOB=
|OA||OB|sin2θ=2mn==，记S（λ）=
，λ∈[，3]）．则S（λ）在λ∈[
，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值
．所以△AOB面积的取值范围是[2，
]．
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