Question

已知直线l：x+ay+1-a=0．
（Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（-2，-1），B（1，1），求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）结合图形，求出直线PA的斜率，直线PB的斜率，从而得到直线PA的倾斜角和直线PB的倾斜角，即可求求实数a的取值范围；（Ⅱ）先求直线与x轴、y轴的截距，再利用基本不等式求面积的最小值．

解答：解：（Ⅰ）直线l过定点P（-1，1），K_PA=2，K_PB=0，要使l满足条件，必须
当a=0时，满足条件；当a≠0时，l的斜率-

1

a

≥2或-

1

a

＜0
即a＞0或0＞a≥-

1

2

，综上得a≥-

1

2

；
（Ⅱ）M(a-1，0)，N(0，

a-1

a

)，依题意有

a-1 a ＞0 a-1＜0

，而S△OMN=-

1

2

(a+

1

a

-2)，∵a＜0，∴a+

1

a

-2≤-4，即S△OMN=-

1

2

(a+

1

a

-2)≥2，当a=-1时，面积的最小值为2，此时直线的方程为x-y+2=0．

点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，体现了数形结合的数学思想，考查学生会求直线与x轴、y轴的截距，会利用基本不等式求面积的最小值，会写出直线的一般式方程