Question

已知函数f（x）=－x²+2lnx．

(Ⅰ)求函数f（x）的最大值；

(Ⅱ)若函数f（x）与g(x)=x+有相同极值点，

(i)求实数a的值；    ’

 (ii)若对于x₁ ，x₂∈[，3 ]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（），··············· 1分

由得，；由得，.

∴　在上为增函数，在上为减函数．3分

∴　函数的最大值为．4分

（Ⅱ）∵　，　∴　．

（ⅰ）由（Ⅰ）知，是函数的极值点，

又∵　函数与有相同极值点，

∴  是函数的极值点，

∴　，解得．7分

经检验，当时，函数取到极小值，符合题意．8分

（ⅱ）∵　，，，

∵　，  即  ，

∴　，．9分

由（ⅰ）知，∴ .

当时，；当时，．

故在为减函数，在上为增函数．

∵　，

而  , 

∴　，． 10分

①　当，即时，

对于，不等式恒成立

，

∴  ，又∵ ，∴　． 12分

②　当，即时，

对于，不等式

．

∵  ，

∴　．

又∵，∴　．          

综上，所求的实数的取值范围为．

【解析】略