Question

已知各项均为正数的等差数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6；等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₁₅；数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式； 
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据10S_n=a_n²+5a_n+6令n=1可求出首项a₁的值，然后利用递推关系可得10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），两式相减可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0，从而得到数列{a_n}的公差，最后验证讨论首项，验证a₁，a₃，a₁₅是否成等比数列即可，求出数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）知求出a_n，c_n，T然后根据通项公式的特征，利用错位相消法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①
∴10a₁=a₁²+5a₁+6．
解之，得a₁=2，或a₁=3．…（2分）
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②，得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5（n≥2）．…（5分）
当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73．a₁，a₃，a₁₅不成等比数列，∴a₁≠3．
当a₁=2时，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅．…（7分）
∴b₁=a₁=2，b₂=a₃=12，b₃=a₁₅=72；
∴数列{b_n}是以6为公比，2为首项的等比数列，b_n=2×6^n-1． …（9分）
（2）由（1）知，a_n=5n-3，c_n=2（5n-3）6^n-1．
∴T_n=2[2+7×6+12×6²+…+（5n-3）6^n-1]，…（11分）
6 T_n=2[2×6+7×6²+12×6³+…+（5n-3）6ⁿ]，
∴-5 T_n=2[5×6+5×6²+…+5×6^n-1]+4-2（5n-3）6ⁿ…（13分）
=

10×6(1-6n-1)

1-6

+4-2（5n-3）6ⁿ=（8-10n）6ⁿ-8．
T_n=

8

5

-

(8-10n)6n

5

．…（16分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式与求和，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．