Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）•
（I）设b_n=a_n+2，求数列{b_n}的通项公式；
（II）若数列{c_n}满足c_nlog₂b_n，求数列{

cn

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）、根据题中已知条件S_n=2a_n-2n（n∈N^*），得出n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）此两式作差整理即可得到入b_n所满足的关系，从而可求出数列{b_n}的通项公式；
（II）根据题中的条件先求出数列{c_n}的通项公式，然后求出

cn

bn

的表达式，写出数列{

cn

bn

}的前n项和T_n的表达式，然后利用差项相减法便可求出T_n的值．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2（n≥2）．…（3分）
又∵a₁=2，可知a_n＞0，
∴当n≥2时，

bn

bn-1

=

an+2

an-1+2

=

2an-1+4

an-1+2

=2（常数），
∴{b_n}是以b₁=a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ⁺¹．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=log₂b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
∴

cn

bn

=

n+1

2n+1

，…（8分）
则Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，…①

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，…②
两式相减得，

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

…（10分）
=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

．
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．…（12分）

点评：本题考查了数列通项公式和前n项和的求法，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．