Question

设集合A={x|y=

x-2 4-x

}，B={x|g（x）=lg（4x-x²）}．
（1）集合C={y|y=

2

x-1

，x∈A}，若a∈B，且a∉C，试求实数a的取值范围；
（2）若命题P：m∈A，命题Q：m∈B，且“P且Q”为假，“P或Q”为真，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A=[2，4），B=（0，4），从而可得

2

3

＜y≤2可求C=(

2

3

，2]，由a∈B，且a∉C可求a的范围
（2）由题意可得P：2≤m＜4，命题Q：0＜m＜4，由“P且Q”为假，“P或Q”为真，则P，Q中一真一假，分别求解m的范围，即可

解答：解：（1）由题意可得A={x|

x-2

4-x

≥0}=[2，4），B={x|4x-x²＞0}=（0，4）
当2≤x＜4时，

1

3

＜

1

x-1

≤1，从而可得

2

3

＜y≤2
∴C=(

2

3

，2]…（3分）
∵a∈B，且a∉C
∴a∈（0，4）且a∉(

2

3

，2]
∴a∈(0，

2

3

]∪(2，4)…（6分）
（2）由题意可得P：2≤m＜4，命题Q：0＜m＜4
“P且Q”为假，“P或Q”为真，则P，Q中一真一假…（7分）
①若P真Q一假则有

2≤m＜4 m≤0或m≥4

解得：m∈?…（9分）
②若P真Q一假则有

m＜2或m≥4 0＜m＜4

解得：0＜m＜2…（11分）
综上所述m的取值范围为（0，2）…（12分）

点评：本题主要考查了含有根式及对数函数的定义域、值域的求解，P且Q，P或Q的复合命题的真假判断的应用，属于函数知识的简单应用