题目内容

已知椭圆C的两个焦点为，，P为椭圆上一点，满足∠F1PF2=60°．
（1）当直线l过F1与椭圆C交于M、N两点，且△MF2N的周长为12时，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面积．
【答案】分析：（1）由椭圆的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，两式相加得三角形的周长，从而求得a，b的值；得椭圆C的方程．
（2）在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2•|PF1|•|PF2|•cos60°，从而得|PF1|•|PF2|的值；再由正弦定理的推论，求得△PF1F2的面积．
解答：解：（1）如图所示，
由椭圆的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，
∴（|MF1|+|MF2|）+（|NF1|+|NF2|）=4a；
即|MN|+|MF2|+|NF2|=4a=12，∴a=3；
又，∴b=1；所以，椭圆C的方程为．
（2）在△PF1F2中，根据余弦定理，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2•|PF1|•|PF2|•cos60°；
∴（2c）2=（|PF1|+|PF2|）2-3•|PF1|•|PF2|=（2a）2-3•|PF1|•|PF2|；
∴32=36-3•|PF1|•|PF2|；即，
所以，．
点评：本题考查了椭圆的定义以及正弦定理、余弦定理的应用，解题时应结合图形，认真分析，细心解答．
练习册系列答案
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已知椭圆C的两个焦点为F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P为椭圆上一点，满足∠F1PF2=60°．
（1）当直线l过F1与椭圆C交于M、N两点，且△MF2N的周长为12时，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面积．
精英家教网给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点(
5
，0)，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线x+y=3
2
与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点Q（a，b）轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l1、l2使得l1、l2与椭圆C都各只有一个交点，且l1、l2分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与y轴正半轴的交点时，求l1与l2的方程，并求线段|
MN
|的长度．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），抛物线E以坐标原点为顶点，F2为焦点．直线l过点F2，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点若F1B⊥F2B，则|AF2|-|BF2|=
4
4
．
（2013•潮州二模）已知椭圆C的两个焦点为F1（-1，0），F2（1，0），点A(1，
2
2
)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点B（2，0），设点P是椭圆C上任一点，求
PF
1•
PB
的取值范围．

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