Question

【题目】如图，等腰梯形MNCD中，MD∥NC，MN＝MD＝2，∠CDM＝60°，E为线段MD上一点，且ME＝3，以EC为折痕将四边形MNCE折起，使MN到达AB的位置，且AE⊥DC

(1)求证:DE⊥平面ABCE;

(2)求点A到平面DBE的距离

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）等腰梯形中，MD＝4，CD＝MN＝2，利用余弦定理求出，由勾股定理得到CEDE，然后得到AE⊥平面CED，所以，从而可以得到DE⊥平面ABCE.（2）

由（1）得到的CE⊥AE，可求出的面积，由DE⊥平面ABCE，求出三棱锥的体积，利用勾股定理得到的长，然后求出的面积，利用等体积转化，求出点A到平面DBE的距离.

(1)等腰梯形MNCD中，MD∥NC，CD＝MD＝2

∴MD＝4，CD＝MN＝2，

△CED中，∠CDE＝60°，ED＝MD-EM＝1，

则由余弦定理

∴CE，∴CE2+ED2=CD2

∴CEDE，∴CEME，CEAE

又AE⊥DC，DCCE＝C，

∴AE⊥平面CED

而平面CED

∴，又，AECF＝E

∴DE⊥平面ABCE

(2)由(1)因CE⊥AE，则

因DE⊥平面ABCE，则

等腰梯形MCD中MD∥NC，MD＝4，

CD=MN＝2，CE⊥DE，DE＝1

则NC=MD-2DE=2，故BC＝2，

设点A到平面DBE的距离为h，因DE⊥平面ABCE

则，得h＝

所以点A到平面DBE的距离为