Question

8．设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=2^1-x则
（1）f（x）的周期是2；
（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
（3）f（x）的最大值是2，最小值是1；
（4）当x∈（3，4）时，f（x）=2^x-3
其中正确的命题的序号是（1）、（3）、（4）．

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1）可知函数的周期为2，
由f（x）在[0，1]上是减函数知f（x）在（2，3）上递减，
由函数的周期性知求f（x）在[0，1]上的最值即可，
由函数的周期性求x∈（3，4）时的解析式即可．

解答 解：∵对于?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）的周期是2；故（1）正确；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^1-x，
∴f（x）在[0，1]上是减函数，
∴f（x）在（2，3）上递减，故（2）不正确；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^1-x，且f（x）的周期是2，是定义在R上的偶函数；
∴f_max（x）=f（0）=2，f_min（x）=f（1）=1；故（3）正确；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^1-x，又∵f（-x）=f（x），
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=f（-x）=2^1+x，
∴当x∈（3，4）时，f（x）=2^1+（x-4）2^x-3，故（4）正确；
故答案为：（1）、（3）、（4）．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了抽象函数的应用，属于中档题．