Question

函数y=sin2x-3（sinx+cosx）的最大值为

3

2

+1

．

Answer 1

分析：把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，并给化简后的第一项加上1，再后面减去1，保持与原式相等，然后利用同角三角函数间的基本关系把前面的“1”变为sin²x+cos²x，利用完全平方公式变形，配方后将sinx+cosx提取

2

，并利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到y关于sin（x+

π

4

）的二次函数，由正弦函数的值域为[-1，1]，得到自变量sin（x+

π

4

）的范围，根据二次函数的性质，得到sin（x+

π

4

）=-1时，y取得最大值，把sin（x+

π

4

）=-1代入化简后的解析式中，即可求出y的最大值．

解答：解：函数y=sin2x-3（sinx+cosx）
=2sinxcosx-3（sinx+cosx）
=1+2sinxcosx-3（sinx+cosx）-1
=sin²x+2sinxcosx+cos²x-3（sinx+cosx）-1
=（sinx+cosx）²-3（sinx+cosx）-1
=[（sinx+cosx）-

3

2

]²-

13

4

=[

2

sin（x+

π

4

）-

3

2

]²-

13

4

∵-1≤sin（x+

π

4

）≤1，
∴根据二次函数的性质得到当sin（x+

π

4

）=-1时，y取得最大值，
把x=-1代入得：y=（-

2

-

3

2

）²-

13

4

=（

2

+

3

2

）²-

13

4

=2+3

2

+

9

4

-

13

4

=3

2

+1，
则函数y的最大值为3

2

+1．
故答案为：3

2

+1

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及二次函数的性质，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式整理为y关于sin（x+

π

4

）的二次函数是解本题的关键．