题目内容

给出下列命题:
①函数y=sin(
2
3
x+
2
)是偶函数;
②函数y=2|x|的最小值是1;
③函数y=ln(x2+1)的值域是R;
④函数y=sin2x的图象向左平移
π
4
个单位,得到y=sin(2x+
π
4
)的图象
⑤函数f(x)=2x-x2只有两个零点;
其中正确命题的序号是
①②⑤
①②⑤
分析:根据三角函数的诱导公式,结合余弦函数为偶函数得到①正确;根据绝对值非负的性质和指数函数的单调性,可得②正确;根据平方非负的性质和对数函数的单调性,可得③不正确;根据函数图象平移的公式,可得④不正确;根据指数函数y=2x与二次函数y=x2的图象,可得函数f(x)=2x-x2有3个零点,故⑤不正确.
解答:解:因为sin(
2
3
x+
2
)=-cos
2
3
x,
所以函数y=sin(
2
3
x+
2
)即y=-cos
2
3
x,是定义域上的偶函数,故①正确;
因为|x|≥0,可得y=2|x|≥20=1,故函数y=2|x|的最小值是1,得②正确;
因为x2+1≥1,可得ln(x2+1)≥0,得函数y=ln(x2+1)的值域是[0,+∞),不是R,故③不正确;
将函数y=sin2x的图象向左平移
π
4
个单位,
到y=sin2(x+
π
4
)=sin(2x+
π
2
)的图象,而不是y=sin(2x+
π
4
)的图象,故④不正确;
对于⑤,因为函数ff(x)=2x-x2的零点除了2和4,还有一个负数
所以函数f(x)=2x-x2有3个零点,故⑤不正确
因此,正确命题的序号为①②⑤
故答案为:①②⑤
点评:本题以命题真假的判断为载体,着重考查了余弦函数的奇偶性、指对数函数的图象与性质、函数的值域求法和函数图象平移公式等知识,属于中档题.
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