题目内容

已知x轴上的点A₁，A₂…，A_n满足 $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ （n≥2，n∈N^），其中A₁（1，0），A₂（5，0）；点B₁，B₂，…B_n，…在射线y=x（x≥0）上，满足| $数学公式$ |=| $数学公式$ |+2 $数学公式$ （n∈N^），其中B₁（3，3）．
（1）用n表示点A_n与B_n的坐标；
（2）设直线A_nB_n的斜率为k_n，求 $数学公式$ k_n的值；
（3）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S的取值范围．

解：（1）由题意， $\text{[math]}$
∵A₁（1，0），A₂（5，0），∴x₂-x₁=4
∴{x_n-x_n-1}是以4为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
∴ $\text{[math]}$
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+4+…+ $\text{[math]}$ =9-2^4-n
∴A_n（9-2^4-n，0）；
∵射线y=x（x≥0）上，满足| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |+2 $\text{[math]}$ （n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$ x_n+1= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$
∴x_n+1-x_n=2
∵B₁（3，3）．
∴{x_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴x_n=2n+1
∴B_n（2n+1，2n+1）；
（2）设直线A_nB_n的斜率为k_n= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ k_n= $\text{[math]}$ =1；
（3）四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S= $\text{[math]}$ （9-2^3-n）（2n+3）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设a_n= $\text{[math]}$ ，则a_n+1= $\text{[math]}$
∵a_n+1-a_n=[ $\text{[math]}$ ]-[ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$
∴a₂＞a₁，a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞…
∴a₂最大，为12
∴四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S的取值范围为（-∞，12]．
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，从而可得{x_n-x_n-1}是以4为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列；利用射线y=x（x≥0）上，满足| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |+2 $\text{[math]}$ （n∈N^*），可得{x_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可用n表示点A_n与B_n的坐标；
（2）确定直线A_nB_n的斜率为k_n= $\text{[math]}$ ，从而可求 $\text{[math]}$ k_n的值；
（3）四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S= $\text{[math]}$ （9-2^3-n）（2n+3）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，确定函数的单调性，从而可求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S的取值范围．
点评：本题考查数列的证明，考查数列通项的求解，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．