题目内容

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
（II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于S、T点，以S点为切点
作f（x）的切线l₁，以T为切点作g（x）的切线l₂，是否存在实数m，使得l₁∥l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

解：（I）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），
则有lnx₀=（m+1）x₀²-x₀①，
又在点P处有共同的切线，
∴ $\text{[math]}$ ，②
②代入①，得 $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ．
所以，函数h（x）最多只有1个零点，
观察得x₀=1是零点，故m=0．
此时，点P（1，0）；
（II）根据（I）知，当m=0时，两条曲线切于点P（1，0），
此时，变化的y=g（x）的图象的对称轴是x= $\text{[math]}$ ，
而y=f（x）是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，
即 $\text{[math]}$ ，解得-1＜m＜0．两条曲线有两个不同的交点，
当m＜-1时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，
所以，有-1＜m＜0；

（III）假设存在这样的m，不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，
则MN中点的坐标为 $\text{[math]}$ ．
以S为切线的切线l₁的斜率 $\text{[math]}$ ，
以T为切点的切线l₂的斜率 $\text{[math]}$ ．
如果存在m，使得k_s=k_T，
即 $\text{[math]}$ ．③
而且有lnx₁=（m+1）x₁²-x₁和lnx₂=（m+1）x₂²-x₂．
如果将③的两边同乘以x₁-x₂，得
④ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
也就是 $\text{[math]}$ ．
设μ= $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ （μ＞1），则 $\text{[math]}$ ．
∵μ＞1，∴h'（μ）＞0．
因此，h（μ）在[1，+∞]上单调递增，故h（μ）＞h（1）=0．
∴ $\text{[math]}$ ⑤
∴④与⑤矛盾．
所以，不存在实数m使得l₁∥l₂．
分析：（I）设两函数图象的公共点的坐标P（x₀，y₀），把P的坐标代入到f（x）和g（x）中利用的函数值相等得到一个关系式记作①，又因为在P处有共同的切线，所以分别求出f（x）和g（x）的导函数，把P的横坐标分别代入到两导函数中利用导函数值相等得到又一个关系式，由关系式解出m，记作②，将②代入①，把右边变为0后，设左边的关系式为h（x），求出h（x）的导函数，利用x大于0得到导函数大于0，所以h（x）最多只有1个零点，观察可得横坐标为1为零点，即可求出m的值，进而求出此时P的坐标；
（II）由第一问求得的m的值和P的坐标，求出函数g（x）的对称轴，f（x）是固定不变的，所以将g（x）的对称轴向右移动，两条曲线有不同的交点，即当x= $\text{[math]}$ 大于 $\text{[math]}$ 列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到此时m的范围，而当m小于-1时，抛物线开口向下，只有一个交点，不合题意；
（III）采用反证法证明，方法是：假设存在这样的m，可设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，利用中点坐标公式求出M与N的中点坐标，然后把中点的横坐标分别代入到f（x）和g（x）的导函数中即可求出两切线方程的斜率，因为两切线平行，所以利用斜率相等得到一个关系式记作③，且把两点的横坐标分别代入到f（x）和g（x）中，并让函数值相等，给③的两边同乘以x₁-x₂，得关系式④，把④化简后，设μ等于 $\text{[math]}$ 大于1，得到关于μ的等式，移项后设h（μ）等于等式的左边，求出h（μ）的导函数，判断出导函数大于0，得到h（μ）在[1，+∞]上单调递增，故h（μ）＞h（1）=0，与刚才化简的等式④矛盾，所以假设错误，所以不存在这样的m，使l₁∥l₂．
点评：此题要求学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会讨论根的存在性并会判断根的个数，掌握反证法的证明方法，是一道比较难的题．