Question

若数列{a_n}的前n项和Sn=n2•an（n≥2），而a₁=1，通过计算a₂、a₃、a₄猜想a_n=（　　）

• A．

  1

  2n-1

• B．

  2

  n(n+1)

• C．

  4

  (n+1)2

• D．

  1

  2n-1

Answer 1

分析：根据条件分别计算出a₂、a₃、a₄，并根据数列的特点进行猜想a_n的通项公式．

解答：解：∵a₁=1，
∴当n=2时，S₂=4a₂=a₁+a₂，
即a2=

1

3

a1=

1

3

．
当n=3时，S₃=9a₃=a₁+a₂+a₃，
即a3=

1

8

(a1+a2)=

1

8

×(1+

1

3

)=

1

8

×

4

3

=

1

6

，
当n=4时，S₄=16a₄=a₁+a₂+a₃+a₄，
即S4=16a4=a1+a2+a3+a4=

1

15

×(a1+a2+a3)=

1

15

×(1+

1

3

+

1

6

)=

1

15

×

9

6

=

1

10

．
∵a1=1=

2

1×2

，a2=

1

3

=

2

2×3

，a3=

1

6

=

2

3×4

，a4=

1

10

=

2

4×5

，
∴猜想a_n=

2

n(n+1)

．
故选：B．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用递推公式求出数列的前几项，利用数列前几项的归纳进行归纳是解决本题的关键．