Question

【题目】已知.

（1）求的单调区间；

（2）若，恒有成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在和上单调递减（2）

【解析】

（1）求导后可得，令，求导后可得的单调性，进而可得，即可得解；

（2）设，求导后可得，令，对求导后可得，按照、分类讨论即可得解.

（1）的定义域为，，

令，则，

注意到的定义域为，

因此在上单调递增，在上单调递减，

即，即恒成立，

从而在和上单调递减.

（2）不等式等价于，设，

则，

设，则，

注意到单调递增，且，

当时，，故单调递增，

从而，

取，

则，

故，使得，从而在上单调递减，

故当时，，与题设矛盾；

令，则，

则在上单调递增，所以，

所以在上成立，

当时，由可知：

，

注意到，则恒成立，

因此单调递增，从而，恒有，符合题意.

综上可知，的取值范围为.