题目内容
如图，在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB重心，E、F分别在BC、PB上，且
.
求证：（1）平面GEF⊥平面PBC；
（2）GE是PG与BC的公垂线段.
证明：（1）连结BG，延长交PA于点Q.?
由
，可证明GF∥PA，而PA⊥平面PBC，∴GF⊥平面PBC，GF 平面EFG.∴平面GEF⊥平面PBC.?
（2）作FM∥PC交BC于M，?
∴
，可得BE=EM=MC.?
又FM=FB=
PC，?
∴在等腰△FBM中，?
可证FE⊥BM，由三垂线定理可证BC⊥GE.?
在△PCB中，作EH⊥PB于H，由平面PBC⊥平面PAB，?
可证EH⊥平面PAB，∴EH∥PC.?
∴
.?
设PG∩AB=N，则
.?
∴
，HG∥BN.?
又PN⊥BN，∴HG⊥PN.?
由三垂线定理可证PG⊥GE.?
∴GE与PG、BC垂直且相交，则GE是PG和BC的公垂线段.
练习册系列答案
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