Question

如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．

• A．

  3

  2

• B．

  2

• C．

  5

  2

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．设底面边长为2，侧棱长为a，通过解三角形的方法，解得a=

3

，设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中求出 tan∠PBO．

解答：解：如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．
设底面边长为2，侧棱长为a，在△PBC中，PD²=a²-1，PE²=

1

4

PD²=

a2-1

4

，ME=

1

2

MN=

1

2

．
在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB=

PA2+PB2-AB2

2PB×PA

=

PA2+PM2-AM2

2PM×PA

，代入数据化简得

a2-2

a2

=

5 4 a2-AM2

a2

，AM²=

a2

4

+2，
在△PAE中，由勾股定理，得出 PA²=AE²+PE²=AM²-ME²+PE²，即a²=

a2

4

+2-

1

4

+

a2-1

4

，解得a²=3，a=

3

设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，
在△POB中，BO=

2 3

3

，由勾股定理，PO²=PB²-BO²=

5

3

，PO=

15

3

，所以tan∠PBO=

PO

BO

=

5

2

，
三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是

5

2

．
故选C．

点评：本题考查线面角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．