Question

【题目】四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角为，

①求线段的长；

②求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①2②

【解析】

（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出，，再利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）①求出平面的一个法向量，利用，即可求线段的长；②求出平面的一个法向量，再根据为平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

（1）依题意，以点为原点，为轴，为轴，为轴 ，

建立空间直角坐标系（如图），

可得，，，，

，，.

，，，

，，.

即，，，.

所以平面.

（2）①设为平面的法向量，

则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量，

于是有，.

所以，得或（舍）.

，，线段的长为；.

②设为平面的法向量，，

则即，

不妨令，可得为平面的一个法向量，.

又为平面的一个法向量，.

所以.