Question

【题目】函数 (为实数).

(1)若，求证：函数在上是增函数；

(2)求函数在上的最小值及相应的的值；

(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在上是增函数；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）当时， 在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；

（2）求导) ，当x∈[1，e]时， ．分①，②，③，三种情况得到函数f（x）在[1，e]上是单调性，进而得到[f（x）]min；

（3）由题意可化简得到，令，利用导数判断其单调性求出最小值为．

试题解析：

(1)当时， ，其定义域为，

，

当时， 恒成立，

故函数在上是增函数.

(2) ，

当时， ，

①若， 在上有 (仅当， 时， )，

故函数在上是增函数，此时；

②若，由，得，

当时，有，此时在区间上是减函数；

当时，有，此时， 在区间上是增函数，

故；

③若， 在上有 (仅当， 时， )，

故函数在上是减函数，此时

综上可知，当时， 的最小值为1，相应的的值为1；

当时， 的最小值为，相应的值为；

当时， 的最小值为，相应的的值为.

(3)不等式可化为，

因为，所以，且等号不能同时取，

所以，即，

所以，

令，

则，

当时， ， ，

从而 (仅当时取等号)，

所以在上为增函数，所以的最小值为，

所以实数的取值范围为.