Question

（1）求过点（-2，3）的抛物线的标准方程；
（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦点，求此双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线的方程y²=mx，将过的点代入方程，求出m的值，即得到抛物线的方程．
（2）求出椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点坐标，设出双曲线的方程，据题意得到参数c的值，根据双曲线的离心率等于2，得到参数a的值，得到双曲线的方程．

解答：解：（1）若抛物线的焦点在x轴上，设方程为y²=mx，…（1分）
∵抛物线过点（-2，3），
∴3²=-2m，
∴m=-

9

2

，…（2分）
此时抛物线的标准方程为y2=-

9

2

x；           …（3分）
若抛物线的焦点在y轴上，设方程为x²=ny，…（4分）
∵抛物线过点（-2，3），∴（-2）²=3n，∴n=

4

3

，…（5分）
此时抛物线的标准方程为x2=

4

3

y．              …（6分）
（2）∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点坐标为（-4，0）和（4，0），…（1分）
设双曲线方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则c=4，…（2分）
∵双曲线的离心率等于2，即

c

a

=2，∴a=2．     …（4分）
∴b²=c²-a²=12．                           …（5分）；
故所求双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．　              …（6分）

点评：本题主要考查双曲线的简单性质和抛物线的标准方程．解答的关键在于考生对圆锥曲线的基础知识的把握．