题目内容
【题目】已知函数
（
为常数）
（1）若
，讨论
的单调性；
（2）若对任意的
，都存在
使得不等式
成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析;(2）
.
【解析】试题分析：（1）求导得
，分
， 
和 
三种情况得单调区间.
(2）依题意，只需
,由（1）当
时， 
在
上单调递增， 
，
转化为对任意的
，不等式
恒成立，构造新函数
，对
讨论求最值即可.
试题解析：（1）
令
得
①当
时， 
，当
时， 
；当
或
时， 
，此时
的单调递增区间为
， 
，单调递减区间为
；
②当
时， 
， 
, 
在
上单调递增；
③当
时， 
，当
时， 
；当
或
时， 
，此时
的单调递增区间为
， 
，单调递减区间为
综上所述，当
时， 
的单调递增区间为
， 
，单调递减区间为
；当
时， 
的单调递增区间为
；当
时， 
的单调递增区间为
， 
，单调递减区间为
.
(2）由（1）可知，当
时， 
在
上单调递增，
∴
时， 
，依题意，只需
即对任意的
，不等式
恒成立，
设
，则
， 
∵
，∴
①当
时，对任意的
， 
，∴
∴
在
上单调递增， 
恒成立；
②当
时，存在
使得当
时， 
，∴
，∴
单调递减，
∴
，∴
时， 
不能恒成立
综上所述，实数
的取值范围是
.
点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题.求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.
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